Produtos Notáveis

Os produtos notáveis são utilizados desde a antiguidade, os gregos, por exemplo, faziam o seu uso e há registros na obra de Euclides de Alexandria Elementos na forma de representações geométricas. Seu uso facilita os cálculos, reduz o tempo de resolução e ainda pode facilitar o aprendizado. Conheça um pouco mais sobre os produtos notáveis e os benefícios do seu uso.

Definição

Chamamos de Produtos Notáveis algumas expressões algébricas ou polinômios que aparecem com mais frequência em cálculos algébricos. Devido a essa regularidade recebem esse nome e são utilizados principalmente para a fatoração de polinômios e também para evitar erros com sinais.

O quadrado da soma de dois termos

Observe a representação e utilização da propriedade da potenciação a seguir:

(a + b)2 = (a + b) . (a + b)

Dizemos que a é o primeiro termo, enquanto b é o segundo termo.

Se desenvolvermos esse produto usando a propriedade distributiva da multiplicação teremos:

(a + b)2 = (a + b) . (a + b) = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b²

Desta forma, podemos afirmar que o quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, mais duas vezes o produto do primeiro termo pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo.

O quadrado da diferença de dois termos

Observe a representação e utilização da propriedade da potenciação a seguir:

(a – b)2 = (a – b) . (a – b)

Dizemos que a é o primeiro termo, enquanto b é o segundo termo.

Se desenvolvermos esse produto usando a propriedade distributiva da multiplicação teremos:

(a – b)2 = (a – b) . (a – b) = a² – ab – ab + b² = a² – 2ab + b²

Desta forma, podemos afirmar que o quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, menos duas vezes o produto do primeiro termo pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo.

O cubo da soma de dois termos

Observe a representação da propriedade de potenciação a seguir:

(a + b)³ = (a + b) . (a + b)²

Agora, observe como podemos transformá-la, utilizando a propriedade distributiva:

(a + b)³ = (a + b) . (a² + 2ab + b²) = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Desta forma, podemos afirmar que o cubo da soma de dois termos é igual ao cubo do primeiro termo, mais três vezes o produto do quadrado do primeiro termo pelo segundo, mais três vezes o produto do primeiro termo pelo quadrado do segundo, mais o cubo do segundo termo.

O cubo da diferença de dois termos

Observe a representação da propriedade de potenciação a seguir:

(a – b)³ = (a – b) . (a – b)²

Agora, observe como podemos transformá-la, utilizando a propriedade distributiva:

(a – b)³ = (a – b) . (a² – 2ab + b²) = a³ – 3a²b + 3ab² – b³

Desta forma, podemos afirmar que o cubo da diferença de dois termos é igual ao cubo do primeiro termo, menos três vezes o produto do quadrado do primeiro termo pelo segundo, mais três vezes o produto do primeiro termo pelo quadrado do segundo, menos o cubo do segundo termo.